Question

已知椭圆C: x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),离心率e=根号3/2,。O为坐标原点。 （1）.求椭圆C的

已知椭圆C: x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),离心率e=根号3/2,。O为坐标原点。
（1）.求椭圆C的标准方程；
（2）. 已知P(异于点A)为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线L交椭圆C于D、E两点,求|DE|/|AP|的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）因为 A（2，0）是椭圆C的右顶点，所以a=2．
又e=c/a =√3/2，所以 c=√3
所以 b^2=a^2-c^2=4-3=1．

所以椭圆C的方程为x^2/ 4 +y^2=1．
（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，|AP|=4，DE为椭圆C的短轴，则|DE|=2，所以
|DE| / |AP| =1/ 2
当直线AP的斜率不为0时，设直线AP的方程为y=k（x-2），P（x0，y0），

则直线DE的方程为y= -x/k
由y=k(x-2 )；x^2/ 4 +y^2=1得：
x^2+4[k（x-2）]^2-4=0，即（1+4k^2）x^2-16k^2x+16k^2-4=0．
所以2+x0=(16k^2)/(4k^2+1 )
所以 x0= (8k^2-2 )/(4k^2+1 )
所以 |AP|= √[(x 0-2)^2+(y 0-0)^2 ] =√[ (1+k^2)(x0-2)^2]
即 |AP|=4√(1+k^2)/(4k^2+1 )
同理可求|DE|=4√(1+k^2)/√(4+k^2)所以
|DE| / |AP| =(4k2+1 )/√(4+k^2)
设t=√(k^2+4)；则k^2=t^2-4，t＞2．
所以|DE| / |AP| =[4(t^2-4)+1]/t = ( 4t^2-15)/t (t＞2)．
令g(t)= ( 4t^2-15)/t (t＞2)．
则g′(t)=(4t^2+15)/t^2 ＞0．
所以 g（t）是一个增函数．
所以 |DE| / |AP| = ( 4t^2-15)/t ＞(4×4-15 )/2 =1/2
综上，|DE| / |AP| 的取值范围是[1/2，+∞)