Question

如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积是49c㎡,则AC长为

拜托，用两种方法

Answer 1

（1）连接BD,
∵∠BAD=∠BCD=90°∴A,B,C,D四点共圆。令R=BD/2, α=∠BDC
有四边形ABCD的面积 = S△ABD+S△BCD
= R^2 + 2R^2sinαcosα
= R^2 (1 + 2sinαcosα)

由余弦定理可得AC^2 = AD^2 + DC^2 -2ADDCcos(α+π/4)
= 2R^2 + 4R^2cosαcosα - 4√2R^2cosαcos(α+π/4)
= 2 (R^2 (1 + 2sinαcosα))

即AC^2 = 2倍四边形ABCD的面积 = 2*49=98c㎡
AC = 7√2cm
（2）延长CD,作AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分别为E、F
∵∠BAD=∠BCD=90°∴A,B,C,D四点共圆。∴∠B=∠ADF
又∵∠AEB=∠F=90°、AB=AD，∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，四边形ABCD面积=四边形AECF面积
∵∠AEC=∠BCD=∠F=90°、AE=AF，∴四边形AECF为正方形
故正方形AECF面积=AE²=四边形ABCD面积=49，∴AE=7
根据正方形对角线与边长关系可知AC=√2·AE=7√2 。