Question

高数难题，高手来解答啊！！！

已知函数f(x)在闭区间[1,2]上连续，在开区间（1，2）内可导，且f(1)=f(2)=0,证明至少存在一点c∈（1，2），使得f '(c)=2cf(c).

Answer 1

根据连续性，由已知条件知f '(1)与f '(2)异号，所以F(c)=f '(c)-2cf(c).在1,2异号，所以由零点存在定理知结论成立，大题思路是这样，

追问

"根据连续性，由已知条件知f '(1)与f '(2)异号",有这条关系么？还有c∈（1，2），怎么会有“在1，2异号”呢。。此题应该是用罗尔定理来做的吧。。。

追答

有呀
c就是代表自变量，本来想用x的，没想有区间限制
罗尔定理，中值定理吗？？

追问

嗯，罗尔中值定理。"根据连续性，由已知条件知f '(1)与f '(2)异号"这个不理解啊！

Answer 2

构造函数 F(x)=f(x)e^(-x^2) 则F(1)=F(2)=0 由罗尔定理，存在c属于（1,2）使得F‘（c）=0
即f'(c)e^(-c^2)-2cf(c)e^(-c^2)=0 即f'(c)=2cf(c)