Question

方程ax^2+2ax+1=0的两根为x1、x2，满足x1＜1＜x2，那么a的范围为_____

Answer 1

解：
因为：所给方程存在两个根，
所以：a≠0，ax^2+2ax+1=0
因此，有：
x^2+2x+1/a=0
x^2+2x+1-1+1/a=0
(x+1)^2=1-1/a
x=-1±√(1-1/a)
已知：x1＜1＜x2
则：x1=-1-√(1-1/a)，x2=-1+√(1-1/a)
有：
-1-√(1-1/a)＜1…………………(1)
-1+√(1-1/a)＞1…………………(2)
1-1/a≥0…………………………(3)
由(1)得：√(1-1/a)＞-2，这是显然的；
由(2)得：√(1-1/a)＞2
1-1/a＞4
1/a＜-3
显然：a＜0
故，有：1＞-3a
解得：0＞a＞-1/3，即：a∈(-1/3，0)
由(3)得：1/a≤1
当a＞0时，由(3)得：a-1≥0，解得：a≥1
当a＜0时，由(3)得：a-1≤0，解得：a≤1，即：a＜0
综合以上，有：a∈(-1/3，0)

追问

哦闹，我早就已经把满意答案选好了……

Answer 2

ax^2+2ax+1=0
显然a不等0，所以可化为：x^2+2x+1/a=0
令f(x)=x^2+2x+1/a
则有：f(1)<0
即：1^2+2*1+1/a<0
得：（1+3a)/a<0
-1/3<a<0

Answer 3

a>0时，函数图象开口向上，x=1时，ax^2+2ax+1<0,3a+1<0无解
a=0时，显然不对，
a<0时，函数图象开口向下，x=1时，ax^2+2ax+1>0,3a+1>0,a>-1/3，则-1/3<a<0

Answer 4

(-1/3,0) a>0时，等式左边代入x=l,小于0。a<0时左边代入x=1，大于0。