已知关于x的函数f(x)=2^2x+2^x.a+a+1有零点,求实数a的取值范围
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f(x)=2^2x+2^x.a+a+1有零点
即2^2x+2^x.a+a+1=0有实数解
设2^x=t>0,2^(2x)=t^2
即t^2+at+a+1=0有正数解
方程可化为
a(t+1)=-(t^2+1)
a=-(t²+1)/(t+1)
=-[(t+1)^2-2(t+1)+2]/(t+1)
=-[(t+1)+2/(t+1)]+2
根据均值定理
(t+1)+2/(t+1)≥2√2
当t+1=2/(t+1),t=√2-1时，取等号
∴2-[(t+1)+2/(t+1)]≤2-2√2
∴a≤2-2√2
∴实数a的取值范围是(-∞,2-2√2]
即2^2x+2^x.a+a+1=0有实数解
设2^x=t>0,2^(2x)=t^2
即t^2+at+a+1=0有正数解
方程可化为
a(t+1)=-(t^2+1)
a=-(t²+1)/(t+1)
=-[(t+1)^2-2(t+1)+2]/(t+1)
=-[(t+1)+2/(t+1)]+2
根据均值定理
(t+1)+2/(t+1)≥2√2
当t+1=2/(t+1),t=√2-1时，取等号
∴2-[(t+1)+2/(t+1)]≤2-2√2
∴a≤2-2√2
∴实数a的取值范围是(-∞,2-2√2]
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