Question

高中数学外接球问题

三棱锥S-ABC的各顶点都在同一球面上，角BAC=120度，SA垂直于面ABC，SA=2，BC=2根号3，则此球的表面积等于
请说一下解题思路和答案，谢谢！

Answer 1

考虑 ABC 所在的平面与球的截面如下左图，做直径 XP，与BC垂直，连接CP，BP，

由于圆周角是所对弧度数的一半，知道 角 CPB = （360 - 120 * 2）/2 = 60度，

由XP平分BC，知道CPB为正三角形，则CP=BP = 2 sqrt(3), 

且 角CPX = 30度；又XP为直径，则XCP必为直角，则可以简单计算的XP = CP /cos(30) = 4 

 

再考虑过SA，和左下圆圆心O的平面，截球面如下右图，其中O为左图截面之圆心。

 

易知 XP = AP‘ = 4，再考虑到SA垂直于平面ABC，O在ABC平面上，知SA垂直于AO，即SA垂直于AP'.

即 SAP'是直角三角形，可以计算出SP为2 sqrt(5), 

又SAP'是直角，则SP’为截面圆的直径。由于平面SAP‘垂直于ABC在所的圆，且O是球心在ABC上的投影，则SAP’必过球心，可知SP为球直径。

 

即球半径 为sqrt(5)，知道球的表面积为 S = 4 pi r^2 = 20 pi 

Answer 2

主要思路就是求球体的半径。
过C做一直线垂直面ABC，交球面于S'，则S'C=SA(如果有必要证明的话，可以将平面ACS'S上的球截面单拿出来证明一下，用圆周角定理和全等)
连接BS'，过它的中点D做直线L1.
然后过平面ABC所在的圆截面的中点O'做直线L2.
设BC中点为F，易证DF平行L2，OF平行L1，所以L1，L2可以相交，并设相交点为O，O为球体中心。运用圆周角定理，易得O'F=1，DF=1，FC=根号3，所以OF=根号5
球表面积为20π

Answer 3

∠BAC=120°；BC=2√3由正弦定理：BC/∠BAC=2r 得：r=2r 为∆BAC所在截面圆的半径。过A在∆BAC所在截面圆上作直径，直径过圆心O＇，设直径的另一端点为A＇。又∵SA⊥面ABC，显然也有OO＇⊥面ABC，∴SA∥OO＇……①且∆SAA＇为直角三角形……②由①②知，球心O在Rt∆SAA＇所在的面上，∴Rt∆SAA＇所在的截面为大圆，其实也可发现球心O为SA＇的中点。∴R=|SA＇|/2 =√(SA²+AA＇²)/2 =√(2²+4²)/2 =√5∴ S表=4πR²=20π
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2012-11-18 17:24qwe123397 | 七级
∠BAC=120°；BC=2√3由正弦定理：BC/∠BAC=2r 得：r=2r 为∆BAC所在截面圆的半径。过A在∆BAC所在截面圆上作直径，直径过圆心O＇，设直径的另一端点为A＇。又∵SA⊥面ABC，显然也有OO＇⊥面ABC，∴SA∥OO＇……①且∆SAA＇为直角三角形……②由①②知，球心O在Rt∆SAA＇所在的面上，∴Rt∆SAA＇所在的截面为大圆，其实也可发现球心O为SA＇的中点。∴R=|SA＇|/2 =√(SA²+AA＇²)/2 =√(2²+4²)/2 =√5

Answer 4

∠BAC=120°；BC=2√3
由正弦定理：BC/∠BAC=2r 得：r=2
r 为∆BAC所在截面圆的半径。
过A在∆BAC所在截面圆上作直径，直径过圆心O＇，设直径的另一端点为A＇。

又∵SA⊥面ABC，显然也有OO＇⊥面ABC，

∴SA∥OO＇……①
且∆SAA＇为直角三角形……②
由①②知，球心O在Rt∆SAA＇所在的面上，
∴Rt∆SAA＇所在的截面为大圆，其实也可发现球心O为SA＇的中点。

∴R=|SA＇|/2 =√(SA²+AA＇²)/2 =√(2²+4²)/2 =√5

∴ S表=4πR²=20π

Answer 5

∠BAC=120°；BC=2√3
由正弦定理：BC/∠BAC=2r 得：r=2
r 为∆BAC所在截面圆的半径。
过A在∆BAC所在截面圆上作直径，直径过圆心O＇，设直径的另一端点为A＇。

又∵SA⊥面ABC，显然也有OO＇⊥面ABC，

∴SA∥OO＇……①
且∆SAA＇为直角三角形……②
由①②知，球心O在Rt∆SAA＇所在的面上，
∴Rt∆SAA＇所在的截面为大圆，其实也可发现球心O为SA＇的中点。

∴R=|SA＇|/2 =√(SA²+AA＇²)/2 =√(2²+4²)/2 =√5

∴ S表=4πR²=20π赞同0|评论 检举|今天 06:33热心网友