Question

已知三角形ABC,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,S是ABC的面积,且满足(a^2+b^2+c^2)/S=4倍根号3

1，求证：sin(C+派/6)=(a^2+b^2)/2ab
2, 是判断三角形的形状

Answer 1

(1)证明：
由题意知：(a²+b²+c²)/S=4√3
又因为：S=ab*sinC/2
所以：(a²+b²+c²)/(ab*sinC/2)=4√3
化简得：a²+b²=2√3ab*sinC-c² ①

由余弦定理，得：cosC=(a²+b²-c²)/2ab
则：a²+b²=2ab*cosC+c² ②

由①②得：2√3ab*sinC-c²=2ab*cosC+c²
4ab[(√3/2)*sinC-(1/2)*cosC]=2c²
2ab[(√3/2)*sinC-(1/2)*cosC]=c²

则：c²/2ab=[(√3/2)*sinC-(1/2)*cosC]

由余弦定理知：(a²+b²)/2ab=cosC+c²/2ab=[(√3/2)*sinC+(1/2)*cosC]=sinC*cosπ/6+cosC*sinπ/6=sin(C+π/6)
命题得证

(2)解：
a²+b²+c²-4√3S
=(a²+b²-2bacosC)+a²+b²-4√3*(1/2)ab*sinC
=2a²+2b²-2ab*cosC-2√3ab*sinC
=2a²+2b²-4ab[(1/2)cosC+(√3/2)sinC]
=(2a²+2b²-4ab)+[4ab-4ab*cos(60-C)]
=2(a-b)²+4ab[1-cos(60-C)]

因为：
0°<C<180°
-120°< 60°-C < 60°
-1/2 < cos(60°-C) ≤ 1
0 ≤ 1-cos(60°-C) < 3/2
所以：
a²+b²+c²-4√3S = 2(a-b)²+4ab*[1-cos(60-C)] ≥0
当且仅当a=b且C=60°时，等号成立
即：(a²+b²+c²)/S=4√3
所以：△ABC为等边三角形

Answer 2

由余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bccosA
由面积公式：S=(1/2)bcsinA

作差法：
a^2+b^2+c^2-4√3S
=b^2+c^2-2bccosA+b^2+c^2-4√3*(1/2)bcsinA
=2b^2+2c^2-2bccosA-2√3bcsinA
=2b^2+2c^2-4bc[(1/2)cosA+(√3/2)sinA]
=2b^2+2c^2-4bc+4bc-4bccos(60-A)
=2(b-c)^2+4bc[1-cos(60-A)]

-120 < 60-A < 60
-1/2 < cos(60-A) ≤ 1
0 ≤ 1-cos(60-A) < 3/2
所以
a^2+b^2+c^2-4√3S = 2(b-c)^2+4bc[1-cos(60-A)]=0
当b=c且A=60时，即等边三角形时，等号成立

1，求证：sin(C+派/6)=(a^2+b^2)/2ab
2, 是判断三角形的形状证明很显然咯