Question

在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F

（1）若AE=AD请证明：CD =AF+BE下面给出了一种证明的思路，你可以按这种思路证明，也可以选择另外的方法证明。证明：延长EA到G,使AG=BE，连接DG∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∵AE⊥BC∴∠AEB=90°∴∠DAF=∠AEB=90°∴∠DAG=180°-90°=90°在△AEB和△DAG中，BE=AG∠AEB=∠DAGAE=AD∴△AEB≌△DAG请你完成余下的证明过程（2）若AE:AD=a:b试探究线段CD AF BE 之间所满足的等量关系，请写出你的结论并证明

Answer 1

【分析】
（1）①延长EA到G，使得AG=BE，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，AB∥CD，AD=BC，求出∠DAG=90°=∠GAD，根据SAS证△ABE≌△DAG，推出DG=AB=CD，∠1=∠2，求出∠AFD=∠GDF，推出DG=GF=AF+AG即可；
②与（1）证法类似，根据SAS证△ABE≌△DAG，推出DG=AB=CD，∠1=∠2，求出∠GFD=∠GDF，推出DG=GF=AF+AG即可；
（2）延长EA到G，使得BE/AG=a/b，连接DG，根据两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，推出△ABE∽△DAG，推出∠1=∠2，DG=AB，代入即可求出答案。

【解答：】（1）①CD=AF+BE
理由是：延长EA到G，使得AG=BE，连接DG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC
∵AE⊥BC于点E
∴∠AEB=∠AEC=90°
∴∠AEB=∠DAE=90°
∴∠DAG=90°
在△ABE和△DGA中AD=AE，∠GAD=∠AEB，BE=AG
∴△ABE≌△DGA
∴DG=AB=CD，∠1=∠2
∵平行四边形ABCD，AE⊥BC
∴∠B=∠ADC=60°，AE⊥AD
∴∠1=∠2=30°
∵DF平分∠ADC
∴∠3=∠4=30°
∴∠AFD=60°=∠GDF
∴DG=GF=AF+AG
∴CD=AB=DG=AF+BE
即CD=AF+BE
②
（1）中的结论仍然成立
证明：
延长EA到G，使得AG=BE，连接DG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC
∵AE⊥BC于点E
∴∠AEB=∠AEC=90°
∴∠AEB=∠DAG=90°
∴∠DAG=90°
在△ABE和△DAG中
AD=AE，∠GAD=∠AEB，BE=AG
∴△ABE≌△DAG
∴∠1=∠2，DG=AB，∠B=∠G
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC
∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°，∠3=∠4
∴∠GDF=90°-∠4，∠GFD=90°-∠3
∴∠GDF=∠GFD
∴GF=GD=AB=CD
∵GF=AF+AG=AF+AE
∴CD=AF+BE

（2）
bCD=aAF+bBE
理由是：延长EA到G，使得BE/AG=a/b
连接DG，即AG=(b/a)BE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC
∵AE⊥BC于点E
∴∠AEB=∠AEC=90°
∴∠AEB=∠DAG=90°
∴∠DAG=90°
即∠AEB=∠GAD=90°
∵AE/AD=BE/AG=a/b
∴△ABE∽△DAG
∴∠1=∠2，AB/DG=a/b
∴∠GFD=90°-∠3
∵DF平分∠ADC
∴∠3=∠4
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3
∴∠GDF=∠GFD
∴DG=GF
∵AB/DG=a/b，AB=CD（已证）∴bCD=aDG=a[(b/a)BE+AF]
即 bCD=aAF+bBE．

Answer 2

cd=af+be
证明：