Question

一道高等代数试题，求高手！矩阵，线性无关，行列式

设A为3阶方阵，X为3维列向量，满足A^3X+A^2X+2AX-3X=0，若向量组X，AX，A^2X，线性无关，则detA=？

Answer 1

解: A(X,AX,A^2X)
= (AX,A^2X,A^3X)
= (AX,A^2X,-A^2X-2AX+3X)
= (X,AX,A^2X)K
其中 K =
0 0 3
1 0 -2
0 1 -1
因为 X,AX,A^2X 线性无关, 所以(X,AX,A^2X)可逆
所以 (X,AX,A^2X)^-1A(X,AX,A^2X)=K (A与K相似)
所以 |A|=|K|=3.

Answer 2

|AX,A^2X,A^3X|=|A||X,AX,A^2X| (考虑到利用已知条件，必须出现A^3X)
代入A^3X=-A^2X-2AX+3X得
|AX,A^2X,-A^2X-2AX+3X|=|A||X,AX,A^2X|

左边利用行列式性质：第一列2倍加到第三列，第二列加到第三列得
|AX,A^2X,3X|=|A||X,AX,A^2X|

左边，3提出，交换一，二列的位置得
-3|A^2X,AX,X|=|A||X,AX,A^2X|

左边交换一，三列的位置得
3|X,AX,A^2X|=|A||X,AX,A^2X|

显然|A|=3