Question

已知过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y^2=4x交与A,B两点,O为坐标原点。求

1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程
2)若线段AB的中垂线叫x轴与点Q，求△POQ面积的取值范围

Answer 1

解：易知L斜率存在，且不为0

不妨设y=kx+2，A(x1,y1),B(x2,y2)

(1)易知该圆圆心即AB中点Q(x0,y0),x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2……①

由该圆以AB为直径，且过原点O，有lOQl=lAOl，即

√(x0²+y0²)=√[(x0-x1)²+(y0-y1)²]

两边平方，并将结论①代入，有

[(x1+x2)/2]²+[(y1+y2)/2]²=[(x2-x1)/2]²+[(y2-y1)/2]²

即x1x2+y1y2=0……②

由A,B在L：y=kx+2上，可知y1=kx1+2,y2=kx2+2，有

y1y2=k²x1x2+2k(x1+x2)+4……③

将L：y=kx+2代入抛物线方程，化简得到k²x²+(4k-4)x+4=0

由韦达定理，可得x1+x2=(4-4k)/k²，x1x2=4/k²……④

将结论③，④代入②，得到

4/k²+k²·4/k²+2k·(4-4k)/k²+4=0

即4/k²+8/k=0

两边同乘k²，有

4+8k=0

∴k=-1/2

综上，L：y=-1/2·x+2

(2)设q(m,0)，易知

lOql=m

∴S△POq=m

易知，向量AB=(x2-x1,y2-y1),向量qQ=(<x2+x1>/2-m,<y2+y1>/2)

由AB⊥Qq，有

(x2-x1)(<x2+x1>/2-m)+(y2-y1)(<y2+y1>/2)=0

即(x2²-x1²+y2²-y1²)-m(x2-x1)=0

由题(1)中结论④，可知

x2²-x1²=

……我怀疑(0,+∞)呢。。等我看完元宵晚会好撒。。

Answer 2

根据y²=4x知2p=4 求出焦点坐标F(1,0),求出准线方程X=-1
设A(x1，y1),B(x2，y2) |AB|=|AF|+|BF|=1+X1+1+X2=X1+X2+2
求出圆心的横坐标(X1+X2)/2

Answer 3

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