Question

设a>b>c,请证明以下不等式：bc²+ca²+ab²<b²c+c²a+a²b

Answer 1

证明：利用作差比较法
右-左
=(b²c+c²a+a²b)-(bc²+ca²+ab²)
=bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)
=bc(b-c)+ca(c-b)+ca(b-a)+ab(a-b)
=(bc-ac)(b-c)+(ca-ab)(b-a)
=c(b-a)(b-c)+a(c-b)(b-a)
=(b-a)(b-c)(c-a)
=(a-b)(b-c)(a-c)
∵ a>b>c
∴ (a-b)(b-c)(a-c)>0
∴ 原不等式成立

Answer 2

右边—左边整理得
a²（b-c)+b² (c-a)+c² (a-b)>0
因为a>b>c，所以b-c>0，a-b>0 , c-a<0
a>b>c>1,
a²（b-c)+b² (c-a)+c² (a-b)>c²(a-b+b-c)+b² (c-a)=c²-b² <0
-1>a>b>c,
a²（b-c)+b² (c-a)+c² (a-b)>c²(a-b+b-c)+b² (c-a)=a²-b² <0
-1>a>b>c>0,
用同上的方法判断

Answer 3

=(b²c+c²a+a²b)-(bc²+ca²+ab²)
=bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)
=bc(b-c)+ca(c-b)+ca(b-a)+ab(a-b)
=(bc-ac)(b-c)+(ca-ab)(b-a)
=c(b-a)(b-c)+a(c-b)(b-a)
=(b-a)(b-c)(c-a)
=(a-b)(b-c)(a-c)
∵ a>b>c
∴ (a-b)(b-c)(a-c)>0
-1>a>b>c>0,

Answer 4

还没学到