Question

若函数f(x)=ax-根号(x^2 1)(a>0)在[0, ∞)上为单调函数,则a的取值范围是

Answer 1

f(x)=ax-√(x²+1)
f'(x)=a-x/√(x²+1)
f(x)为单调函数,则对[0, ∞)， f'(x)不变符号（即全部x有f'(x)≥0或对全部x f'(x)≤0 ）

先考察函数g(x)=x/√(x²+1)=1/√(1+1/x²)
知g(x)在 [0, ∞)上为单增函数，所以 0=g(0)≤g(x)≤g(+∞)=1
知对全部x∈ [0, ∞) 有 f'(x)=a-g(x)≤0是不可能的 ，因为需要a≤min(g(x))=0 与题设a>0矛盾
所以必须要求对全部x∈ [0, ∞) 有 f'(x)=a-g(x)≥0 需要 a≥max(g(x))=1
所以a的取值范围为a≥1

没学过导数，可用
若0≤x<y ,则f(x)-f(y)=a(x-y)+√(y²+1)-√(x²+1)=a(x-y)+(y²-x²)/[√(y²+1)+√(x²+1)]
=(x-y) {a-(x+y)/[√(y²+1)+√(x²+1)] }
由0≤x<√(x²+1) 0<y<√(y²+1)
可知 0<(x+y)<√(x²+1)+√(y²+1)]
所以 0<(x+y)/[√(y²+1)+√(x²+1)]<1
若f(x)单调函数增加，则应有对任何0≤x<y 有a-(x+y)/[√(y²+1)+√(x²+1)]≥0
所以有 a≥max[(x+y)/[√(y²+1)+√(x²+1)]]≥1
若f(x)单调函数下降，类似讨论知不可能。

追问

为什么会是1啊？就是为什么a大于等于1

追答

计算出的比值(x+y)/[√(y²+1)+√(x²+1)]是0到1中间的数，x，y接近0时此比值接近0，x,y足够大时，此比值接近于1,（具体值你可以凑出来），要保证a-(x+y)/[√(y²+1)+√(x²+1)]≥0，a应该比任何比值均要大，比值是可以无限接近1的（但不会等于1），所以a至少是1