Question

在平面直角坐标系XOY中,已知圆:X2+Y2=25，圆O1的圆心为O1(m,0)且与圆O交于点P（3,

在平面直角坐标系XOY中,已知圆:X2+Y2=25，圆O1的圆心为O1(m,0)且与圆O交于点P（3,4）。过点P且斜率为K（K不等于0）的直线分别交圆O，O1于点A，B
（1）若K=1，且BP=7√2求圆O1的方程。
（2）过点P作垂直于直线L的直线L1分别交圆O，O1于点C，D。当m为常数时，试判断AB2+CD2是否为定值，如果是，求出这个值；如果不是，说明理由。

Answer 1

（1）称过P点且斜率为K（K不等于0）分别交圆O，O1于点A，B的直线为直线AB，
设直线方程式为y=Kx+b,由K=1，P（3,4）得：4=1*3+b，b=1,
所以直线AB的方程式为y=x+1.
设B点相对于P点的坐标为B（x1,y1）,则B点实际坐标为B（x1+3,y1+4）
B 点在直线AB上，故有y1+4=x1+3+1,所以有B(x1,x1).又因BP=7√2，有x1^2+x1^2=(7√2)^2,
解得x1=7或x1=-7,所以B的实际坐标为(10,11)或(-4,-3)，经证明点（-4，-3）在圆O上，
所以B(10,11)A(-4,-3)
由圆O1圆心为O1（m,0），过点P（3,4),B(10,11),设O1半径为R，
则圆O1的方程式为：（x-m）^2+y^2=R^2
代入P，B点有(3-m)^2+4^2=(10-m)^2+11^2，解得m=14,R^2=(3-11)^2+4^2=80
所以圆O1的方程式为（x-11)^2+y^2=80
(2)设过P直线L方程式为y=K(x-3)+4,则与L垂直的直线L1的方程式为y=(-1/K)(x-3)+4
联立x^2+y^2=25 和 （x-m)^2+y^2=R2 解得AB^2=
y=K(x-3)+4 y=(-1/K)(x-3)+4 CD^2=
………………总之是常数啦，嘿嘿