Question

1. 求下列幂级数的收敛半径和收敛域: 无穷Σn=0x^(2n-1)/(2n-1)

Answer 1

根据比值测试，当n趋于无穷大时，(x^(2n+1)/(2n+1))/(x^(2n-1)/(2n-1))=x^2/(2n+1)*(2n-1)趋于x^2/2，所以收敛半径R=lim┬(n→∞)⁡|aₙ /a_(n+1) |=lim┬(n→∞)⁡|(2n-1)/(2n+1) |=1，即收敛半径为1。
当|x|<1时，由比较测试，∑n=0^∞|x^(2n-1)/(2n-1)|收敛，所以原级数在|x|<1时绝对收敛，即收敛域为[-1,1]。
当x=1时，原级数变为调和级数，发散；当x=-1时，原级数变为交错调和级数，收敛。所以收敛域为闭区间[-1,1]。