Question

我知道下面两个命题是错误的，也知晓其正确的解法。但是不明白我的思路在什么地方出了错，还请大虾指点~

Answer 1

不定积分的结果不是一个函数，而是无穷多个函数，尽管我们还是用等号来记，但这里的等号不是数的等号，而是集合的等号了
也就是你要讲不定积分理解为：结果是所有的原函数的集合，因此所有的高数书都要强调最后的结果需要加一个不定常数C，就是这个原因
你的第一个证明中，等式左边的F(-x)已经是集合符号了，右边的也是集合符号，这个郑睁伍等式只是代表两个集合相等，而不是集合的两个元素相等
确切的说就是左边集合有一个元素，那么右边跟他必有对应的一个元素，两者是相等的，但这两个元素早猛可能不是同一个函数了，因此你没有证明这个元素是奇函数
如果你非要说等式左边的就表示一个函喊或数，那么你推导等式的过程中必须有不定常数C，C是与具体问题有关的。若C等于0，则F(x)是奇函数，也就是得到结论：偶函数的某一个原函数是奇函数，没有得到偶函数的所有原函数是奇函数
第二个的理由是一样的

Answer 2

LZ你好，关于你的疑惑，我的理解是：
LZ错在用定积分的一些公式去计算不定积分的问题，而事实上这些公式对于不定积分不一定成立。
如：以f(x)=cosx，F(x)=sinx+1为例来验证的话，疑惑1中， “则”字后面，迹顷第二个等号的左边为sin(-x)+1，右边为-(sin(x)+1)，很显然不相等。（当然这是在假设其他等号都成帆枣立的情况下）
疑惑2的解释类似。
总结：事实上，如果回顾不定积分和原函数的定义的话，会发现不定积分只是一个记号，并不像定积分那样，可以根据定义推导出这些公式。
纯属个人观点，如有不对，请姿轿陆见谅！

Answer 3

函数f、自变量x仅是一个符号表示，你可能把它们弄混了。严格讲来F(x)函数中的x和f(x)函数中的x不是同一变量（前者的x是后者的积分区限）； 不能互相代替，F(-x)并不能肯定悔运是f(x)积分来，而应在f(x)积分完成后再以-x代入；
把自变量换个写法应该就不会推导错了，如 F(-x)=∫f(-t)d(-t)=∫f(u)du=F(-x)+C，积分区间含-x即可。
对周期函数，积分得原函数之一是否仍是周期函数，就槐穗看铅前卜对应的F(x)+C是否为周期函数；注意改变积分区限后不能肯定尾巴C取同一值。

Answer 4

1
你是在证明奇函数的积分为偶函数，即奇函数的原函数必为答渣偶函腔仿数。
2
对于不定积分，F(x+T)=F(x)+常数，这个常数在本题中等于一个周期的积分值清圆悄。

追问

1.是啊，但问题是正确命题是“奇函数的原函数全是偶函数;偶函数的原函数并不全是奇函数。”
2.你说的我理解，但我的证法，哪儿有问题呢？

追答

1
命题说偶函数的原函数是奇函数，你证的是奇函数的原函数是偶函数
2
最后一步等号不成立，必须加常数项。此常数项取决于积分位置。

追问

好吧，大哥，麻烦你把题目看清楚点，这两个命题都是错误的！我举的是反例。
cosx为偶函数，sinx+1为cosx的一个原函数，但是“非奇非偶”！！！
所以，偶函数的原函数并非一定为奇函数。
2，我的最后一步只是用到了我的假设条件，有问题么？