Question

根号下x/(x+1)的积分

Answer 1

∫ √x/(x+1) dx
令√x=u，则x=u²，dx=2udu
=2∫ u²/(u²+1) du
=2∫ (u²+1-1)/(u²+1) du
=2∫ 1 du - 2∫ 1/(u²+1) du
=2u - 2arctanu + C
=2√x - 2arctan√x + C

希望可以帮到你，如有疑问请追问，如满意请点“选为满意答案”。

追问

下面那个也在根号里。。。。。不好意思，我没说清楚。能再做一下吗。谢谢。

追答

令√[x/(x+1)]=u，解得：x=u²/(1-u²)，dx=2u/(1-u²)²du，则
∫ √[x/(x+1)] dx
=∫ 2u²/(1-u²)² du
=2∫ (u²-1+1)/(1-u²)² du
=2∫ (u²-1)/(1-u²)² du + 2∫ 1/(1-u²)² du
=2∫ 1/(u²-1) du + 2∫ 1/(1-u²)² du
后一个积分令u=siny，1-u²=cos²y，du=cosydy
=ln|(u-1)/(u+1)| + 2∫ 1/cos³y dy
=ln|(u-1)/(u+1)| + 2∫ sec³y dy
下面计算
∫ sec³y dy
=∫ secy dtany
=secytany - ∫ tan²ysecy dy
=secytany - ∫ (sec²y+1)secy dy
=secytany - ∫ sec³y dy - ∫ secy dy
=secytany - ∫ sec³y dy - ln|secy + tany|
将 -∫ sec³y dy 移到等式左边与左边合并，除去系数得：
∫ sec³y dy = (1/2)secytany - (1/2)ln|secy+tany|

则，原积分=ln|(u-1)/(u+1)| + secytany - ln|secy + tany| + C
=ln|(u-1)/(u+1)| + u/(1-u²) - ln|1/√(1-u²) + u/√(1-u²)| + C

下面将u=√[x/(x+1)]代入自己计算吧。

Answer 2

换元法来做

追问

能给我具体讲一下么，感激不尽啊！！！！