设函数f(x)在上[0,a]连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明:在(0,a)中至少存在

设函数f(x)在上[0,a]连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明:在(0,a)中至少存在一点ξ,使3f(ξ)+ξf'(x)=0【注意看式子!!!】多谢... 设函数f(x)在上[0,a]连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明:在(0,a)中至少存在一点ξ,使3f(ξ)+ξf'(x)=0【注意看式子!!!】多谢 展开
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xuzhouliuying
高粉答主

推荐于2018-12-30 · 繁杂信息太多,你要学会辨别
知道顶级答主
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证:
构造函数F(x)=x³·f(x),则F(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导。
F(0)=0³·f(0)=0,F(a)=a³·f(a)=0
F'(x)=3x²·f(x)+x³·f'(x)
罗尔中值定理得,在(0,a)内,至少存在一点ξ,使得
F'(ξ)=[F(a)-F(0)]/(a-0)=(0-0)/a=0
F'(ξ)=3ξ²·f(ξ)+ξ³·f'(ξ)=0
ξ²[3f(ξ)+ξ·f'(ξ)]=0
ξ∈(0,a),ξ≠0,因此只有3f(ξ)+ξ·f'(ξ)=0
即:在(0,a)内,至少存在一点ξ,使得3f(ξ)+ξ·f'(ξ)=0

此类题目的难点其实是一开始如何构造合适的函数,首要的问题解决了,后面只是运用中值定理计算而已。
8826055
2016-01-17 · TA获得超过7510个赞
知道大有可为答主
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令g(x)=x^3f(x),g'(x)=(3f(x)+xf'(x))x^2。
由于g(0)=g(a)=0,由罗尔定理必存在ξ使g'(ξ)=0,即3f(ξ)+ξf'(x)=0
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