Question

四边形ABCD为正方形,四边形ADPQ中,PD//QA,又QQA垂直于平面ABCD,QA=AB=1/2PD,CP上是否存在一点R，

事QR//面ABCD

Answer 1

存在的，R若为CP的中点，那么QR//面ABCD必然成立。证明过程如下：
作一个辅助点M，M为PD的中点。
因为QA=1/2PD，所以QA=MD
由于QA垂直于平面ABCD，PD//QA，所以QADM是正方形，那么QM//平面ABCD。
而在三角形PDC中MR为中位线，PD又垂直于CD，所以RM//CD，进而RM//平面ABCD。
据上QM//平面ABCD，RM//平面ABCD
所以平面RQM//平面ABCD（两相交直线都平行一个平面，它们所构成的平面就平行于这个平面了）。
很明显，就有QR//面ABCD

Answer 2

存在；
取PD中点o，做PD垂线OR交PC于点R，连接QO，OR，QR
因为PD平行于QA，QA等于二分之一PD，所以QO平行于AD，所以平行于平面ABCD
OR垂直于PD，QO垂直于PD，所以OR平行于DC，所以平行于ABCD；
所以平面QOR平行于平满ABCD，从而QR平行于平面ABCD