Question

函数f(x)是定义域为R的偶函数且对任意的x∈R均有f(x+1)=-f(x)成立当x∈[-1,0]时f(x)=loga(2+x)(a>1)

(1)求f(2013)的值
(2)当x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时，求f(x)的表达式
(3)若f(x)的最大值为1/2,解关于x的不等式f(x)<1/4

Answer 1

由f(x+1)=-f(x)得
f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
x∈[-1,0]时f(x)=log<a>(2+x)(a>1),
∴f（-1）=log<a>1=0,
(1)f(2013)=f(2*1007-1)=f(-1)=0.
(2)x∈（0,1]时-x∈[-1,0),
∴偶函数f(x)=f(-x)=log<a>(2-x).
∴f(x)={log<a>(2+x)(x∈[-1,0];
{log<a>(2-x),x∈(0,1].
∴x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时x-2k∈[-1,1],
f(x)=f(x-2k)
={log<a>(2+x-2k),x∈[2k-1,2k];
{log<a>(2-x+2k),x∈（2k,2k+1].
(3)f(x)|max=f(0)=log<a>2=1/2,
∴a^(1/2)=2,a=4.
关于x的不等式f(x)<1/4变为
{log<4>(2+x-2k)<1/4,x∈[2k-1,2k]};或{log<4>(2-x+2k)<1/4,x∈（2k,2k+1]}
<==>{0<2+x-2k<√2，x∈[2k-1,2k]};或{0<2-x+2k<√2,x∈（2k,2k+1]}.
<==>2k-1<x<2k-2+√2，或2k+2-√2<x<2k+1,为所求.