Question

如图在Rt△ABC中,∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BC平分∠ABC交AD于F，交AC于点E，若EG⊥BC于点G，连接FG。

请说明：四边形AFGE是菱形

Answer 1

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°
∴∠CAB + ∠B =90°
∵CD⊥AB
∴∠CDF = ∠CDA = 90°
∴在Rt△CDB中，∠DCB + ∠B = 90°
∴ ∠CAB = ∠DCB
∵ AF平分∠CAB , CG平分∠纤姿BCD
∴ ∠FAB= 1/2 ∠CAB ∠GCF = ∠DCG = 1/2 ∠DCB
即：∠FAB = ∠DCG
在Rt△ADE中，∠EAD + ∠AED = 90° ( ∠FAB = ∠EAD)
又∵ ∠AED = ∠CEF (对顶角）
∴ ∠DCG + ∠ CEF = 90°
∴ EF ⊥ CG
∴ ∠GCF + ∠ AFC= 90°
∴ ∠CEF = ∠AFC
∴ CF = CE
CG垂直平分EF
∠DCG + ∠EGC = ∠ DEG = ∠DCB
∠DCG = 1/2 ∠DCB
∠DCG = 1/2 ∠DCB
∠DCG = ∠EGC = 1/2 ∠DCB
EC = EG EF ⊥ CG
EF垂直平大乎分滚竖悉CG

∴ 四边形CEGF是菱形 （对角线互相垂直平分

Answer 2

（2）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90,AB＝AC，D为BC的中点
∴AD⊥BC 故△BAD∽△BCA
∴BD:BA=BA:BC
∴BA×=BD×BC
∵△DBG∽△EBC
∴BD:BE=BG:BC 即：BD×BC=BE×BG
∴BA×BA=BG×BE 即：数漏BG:BA=BA:BE
∴△BAG∽△BEA ∠BGA=∠BAE=90
∴薯嫌烂AG⊥BE

（3）证明：连接DE，E是AC中点，D是BC中点，
∴DE//BA ，因为BA⊥AC，所以 DE⊥AC
设AB=2a AE=a
做CH⊥BE交BE的延长者隐线于H（图可看上图）
∵∠AEG=∠CEH,∠AGE=∠CHE,AE=EC
∴△AEG≌△CEH(AAS)
∴CH=AG ∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角
∴BE=√5a
∴AE=AB*AE/BE=(2/√5)a
∴CH=(2/√5)a
∵AG⊥BE，∠FGE=45
∴∠AGF=45=∠ECB
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB;
∴∠DFE=∠BCH
又∵DE⊥AC ，CH⊥BE
∴△DEF∽△BHC
∴EF:DF=CH:BC=(2/√5)a:2√2a=1:√10=√10/10