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如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为CD延长线上一点,AE交⊙O于F.求证:AC*FD=AF*DE
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证明:连接AD,将AB与CD的交点设为H
∵CD⊥AB
∴CH=DH (垂径分弦)
∴AB垂直平分CD
∴AD=AC
∴∠ACD=∠ADC
∵四边形ACDF内接于圆O
∴∠EFD=∠ACD
∴∠EFD=∠ADC
∵∠AFD=180-∠EFD,∠ADE=180-∠ADC
∴∠AFD=∠ADE
∵∠DAF=∠EAD
∴△ADE∽△AFD
∴AD/DE=AF/FD
∴AC/DE=AF/FD
∴AC×FD=AF×DE
∵CD⊥AB
∴CH=DH (垂径分弦)
∴AB垂直平分CD
∴AD=AC
∴∠ACD=∠ADC
∵四边形ACDF内接于圆O
∴∠EFD=∠ACD
∴∠EFD=∠ADC
∵∠AFD=180-∠EFD,∠ADE=180-∠ADC
∴∠AFD=∠ADE
∵∠DAF=∠EAD
∴△ADE∽△AFD
∴AD/DE=AF/FD
∴AC/DE=AF/FD
∴AC×FD=AF×DE
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