Question

将1/(z*(1-z)^2)展开成洛朗级数,范围是0<|z-2|<1

Answer 1

可利用圆环域内解析的函数展开为洛朗级数的唯一性来计算。f(z)=1/[z(1-z)^2]=1/z+1/(1-z)+1/(1-z)^2=(1/2)/[1-(2-z)/2]-1/[1-(2-z)]+1/[1-(2-z)]^2=(1/2)[1+(2-z)/2+(2-z)^2/2^2+...+(2-z)^n/2^n+...]-[1+(2-z)+(2-z)^2+...+(2-z)^n+...]+[1+2(2-z)+3(2-z)^2+...+(n+1)(2-z)^n+...]=∑(n=0→+∞)[n+1/2^(n+1)](2-z)^n。 上式没有出现负幂项是因为f(z)在z=2处是解析的。

追问

第一步就不对啊

追答

f(z)=1/[z(1-z)^2]=1/z+1/(1-z)+1/(1-z)^2，这一步没错吧？
1/z=1/(z-2+2)=(1/2){1/[1+(z-2)/2]}=(1/2){1/[1-(2-z)/2]}=(1/2){1+[(2-z)/2]+[(2-z)/2]^2+...+[(2-z)/2]^n+...}，
等比级数：公比q=(2-z)/2，q的绝对值<1，首项为1，和为1/[1-(2-z)/2]，这一步没错吧？
1/(1-z)=1/(2-z-1)=-1/[1-(2-z)]=-[1+(2-z)+(2-z)^2+...+(2-z)^n+...]，也是公比绝对值小于1的等比级数，这一步没错吧？
1/(1-z)^2=[1/(1-z)]'=1+2(2-z)+3(2-z)^2+...+(n+1)(2-z)^n+...，对上面级数求导数即可，这一步没错吧？

追问

第一步化解是用公式的吗，麻烦还是不懂“ f(z)=1/[z(1-z)^2]=1/z+1/(1-z)+1/(1-z)^2”对了再提高悬赏加分

追答

把三项通分后相加，验证一下即可：
1/z+1/(1-z)+1/(1-z)^2=[(1-z)^2]/[z(1-z)^2]+[z(1-z)]/[z(1-z)^2]+z/[z(1-z)^2]
=[(1-2z+z^2)+(z-z^2)+z]/[z(1-z)^2]
=1/[z(1-z)^2]
用待定系数法展开：
1/[z(1-z)]=[A/z]+[B/(1-z)]=[A(1-z)+Bz]/[z(1-z)]=[A+(B-A)z]/[z(1-z)]，
所以A+(B-A)z=1，所以A=1、B-A=0，即A=1、B=1，所以1/[z(1-z)]=[1/z]+[1/(1-z)]，这步知道吧？
1/[z(1-z)^2]=1/[z(1-z)(1-z)]=[1/z+1/(1-z)][1/(1-z)]=1/[z(1-z)]+1/(1-z)^2=1/z+1/(1-z)+1/(1-z)^2

Answer 2

看不到去我空间