Question

如图,已知线段AB是圆O直径,点C在圆O上,AD平分∠BAC，AD交圆O于D，过D作DE⊥AC，垂足为E

（1）求证：DE是圆O切线
（2）已知线段AC=3，DE=2,求圆O半径

Answer 1

(1)
连接OD,则OD=OA
∴∠OAD=∠ODA
∵ADAD平分∠BAC
∴∠OAD=∠DAE
∴∠DAE=∠ODA
∵AE⊥DE
∴∠DAE+∠ADE=90º
∴∠ODA+∠ADE=90
即OD⊥ED
∴DE是圆O切线
(2)
连接CD,
∵DE是圆O切线
∴∠CDE=∠DAE（弦切角等于所夹弧上是圆周角）
∴ΔCDE∽ΔAED
∴EC/ED=ED/AE
∴EC*EA=ED²
∵线段AC=3，DE=2
∴EC(EC+3)=4
∴EC=1
∴AE=4
∴AD=√(AE²+ED²)=2√5
连接BD，易知ΔAED∽ΔADB
∴AE/AD=ED/DB
∴4/(2√5)=2/BD
∴BD=√5
∴AB=√(AD²+BD²)=5
∴圆O半径为2.5