Question

已知函数f（x）=x²+ax，且对任意实数x都有翻f（1+x）=f（1-x）成立

（1）求实数a的值
（2）判断函数f（x）在区间[1，+∞）的单调性，并利用单调性的定义证明
。。。。求帮忙，拜谢

Answer 1

（1）当x=0时，f(0)=0+0=0
当x=2时，f(2)=4+2a
因为对任意实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，取x=1,那么f(2)=f(0),所以4+2a=0，得到a=-2
（2）因为a=-2,所以f(x)=x²-2x,设x1,x2属于[1，+∞)，且x1<x2,那么x1-x2<0,x1+x2-2>0
则f(x1)=x1²-2x1，f(x2)=x2²-2x2
f(x1)-f(x2)=(x1²-2x1)-(x2²-2x2)=(x1²-x2²)-2(x1-x2)=(x1+x2)(x1-x2)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2)<0
则f(x1)<f(x2)
所以f（x）在区间[1，+∞）单调递增

Answer 2

(1)a=-2
(2)f（x）在区间[1，+∞）的单调递增；证明：在区间[1，+∞）任取x1<x2
f（x1）-f（x2）=x1²+2x1-x2²+2x2=(x1-x2)(x1+x2+2)<0
f（x1）<f（x2）则f（x）在区间[1，+∞）的单调递增