Question

如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1.

（1）求抛物线的解析式
（2）若点M是第四象限内抛物线上的一动点，点M的横坐标是m，△BCM的面积是S，求S关于m的函数解析式，并求出关于S的最大值
（3）若P是对称轴直线x=1上的动点，求当以P,B,C为顶点的三角形时，点P的坐标

Answer 1

（1）对称轴x=-b/(2a)=-b/2=1 => b=-2 => y=x^2-2x+c
过C(0,-3)，则-3=c，∴解析式为y=x^2-2x-3
（2）易求得A,B,C三点坐标为A(-1,0), B(3,0), C(0,-3)
则直线AB方程为y=x-3
过M作MN∥y轴，交直线BC于N
易求得x=m时，MN=|y抛物线-y直线BC|=|(m^2-2m-3)-(m-3)|=|m^2-3m|
因在第四象限，抛物线在直线BC下方，∴有m^2-3m<0
即有 MN=-(m^2-3m)=3m-m^2
则S=S△BCM=S△BMN+S△CMN
=1/2*MN*(xB-xM)+1/2*MN*(xM)
=1/2*MN*xB
=3/2*(3m-m^2)
此时，当m=3/2时，S取得最大值
S最大=S(3/2)=3/2*(9/2-9/4)=27/8
（3）P为对称轴x=1上的动点时，以P,B,C为顶点的三角形可能为等腰三角形
此时可能有PB=PC, 或PB=BC, 或BC=PC
设P点坐标为P(1,y)，则有
PB^2=(1-3)^2+(y-0)^2=y^2+4
PC^2=(1-0)^2+(y+3)^2=y^2+6y+10
BC^2=(3-0)^2+(0+3)^2=18
由PB=PC可解得 y=-1
由PB=BC可解得 y=±√14
由BC=PC可解得 y=-3±√17
∴当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标可能为(1,-1), 或(1,±√14), 或(-3±√17)