Question

X-XA^2-AX+AXA^2=E,其中A=(0,1,0;1,0,-1;0,1,0),E为三阶单位矩阵，求X

Answer 1

化简X-XA²-AX+AXA²=E

即

X(E-A²)+AX(A²-E)=E

也即

(AX-X)(A²-E)=E

(A-E)X(A²-E)=E

等式两边同时左乘(A-E)⁻¹

X(A²-E)=(A-E)⁻¹

等式两边同时右乘(A²-E)⁻¹

X=(A-E)⁻¹(A²-E)⁻¹

=[(A²-E)(A-E)]⁻¹

=(A³-A²-A+E)⁻¹

而A²=

0    1    0    

1    0    1    

0    1    0    

A³=

0    1    0    

1    0    -1    

0    1    0    

则A³-A²-A+E=

1 -1 0

-1 1 -1

0 -1 1

下面求逆X=(A³-A²-A+E)⁻¹

1    -1    0    1    0    0    

-1    1    -1    0    1    0    

0    -1    1    0    0    1    

第2行, 加上第1行×1

1    -1    0    1    0    0    

0    0    -1    1    1    0    

0    -1    1    0    0    1    

第1行, 加上第3行×-1

1    0    -1    1    0    -1    

0    0    -1    1    1    0    

0    -1    1    0    0    1    

第3行, 提取公因子-1

1    0    -1    1    0    -1    

0    0    -1    1    1    0    

0    1    -1    0    0    -1    

第2行, 提取公因子-1

1    0    -1    1    0    -1    

0    0    1    -1    -1    0    

0    1    -1    0    0    -1    

第1行,第3行, 加上第2行×1,1

1    0    0    0    -1    -1    

0    0    1    -1    -1    0    

0    1    0    -1    -1    -1    

第2行交换第3行

1    0    0    0    -1    -1    

0    1    0    -1    -1    -1    

0    0    1    -1    -1    0    

得到逆矩阵

0    -1    -1    

-1    -1    -1    

-1    -1    0