Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=a(Sn-an+1)，其中a不等于0，a不等于1（1）求数列{an}的通项公式an

（2）设bn=an^2+Sn*an，若数列{bn}为等比数列，求常数a的值 主要是第二问！！

Answer 1

(1)解：
由题意得：Sn=a(Sn-an+1)（a≠0且a≠1）
则易得：Sn=[a/(a-1)]*(an-1)
根据：an=Sn-S(n-1)（n>1）
所以：an=[a/(a-1)]*(an-1)-[a/(a-1)]*[a(n-1)-1]=[a/(a-1)]*[an-a(n-1)]
得：an/a(n-1)=a

因此：数列{an}是以a为公比的等比数列
an=a1*a^(n-1)
又因为：S1=a(S1-a1+1)且S1=a1
即：a1=a
所以：an=a^n

(2)解：由题意得：bn=an²+Sn*an=a^(2n)+[a/(a-1)]*[a^(2n)-a^n]
={[(2a-1)/(a-1)]*a^(2n)}-{[a/(a-1)]*a^n}
因为数列{bn}是等比数列
则：b(n+1)/bn=C（C为常数）

即：C={[(2a-1)/(a-1)]*a^(2n+2)}-{[a/(a-1)]*a^(n+1)} / {[(2a-1)/(a-1)]*a^(2n)}-{[a/(a-1)]*a^n}
={[(2a-1)*a^(n+1)]-a}/{[(2a-1)*a^(n-1)]-1}

要使C为常数
则：{[(2a-1)*a^(n+1)]-a}/{[(2a-1)*a^(n-1)]-1}中的有关n的项消去
所以：(2a-1)=0
得：a=1/2