Question

已知椭圆2x^2+3y^2=6,求x^2+y^2+2x的最值

Answer 1

椭圆方程为2x²+3y²=6

故y²=2-(2/3)x²

于是x²+y²+2x
=x²+2-(2/3)x²+2x
=(1/3)x²+2x+2
=(1/3)(x+3)²-1

根据椭圆的方程，x的取值范围为-√3≤x≤√3
x²+y²+2x=(1/3)(x+3)²-1的最大值在x=√3时取得，为3+2√3
最小值在x=-√3时取得，为3-2√3

PS：也可以用图形法、参数方程法来解，在此不一一列举

Answer 2

易知椭圆标准方程来x^2/3+y^2/2=1
即焦点在x轴，a=√3，b=√2，c=1
令x^2+y^2+2x=m
即(x+1)^2+y^2=m+1（注意到m+1>0）
上式表示圆心为（-1，0）、半径为√(m+1)的同心圆系
根据对称性易知
此圆系中与椭圆内切的圆的半径为最小
此圆系中与椭圆内切的圆的半径为最大

注意到此圆系的圆心正好在椭圆的左焦点上
而左焦点到椭圆左顶点的距离为最短
所以与椭圆内切的圆的半径为a-c=√3-1
即√(m+1)=√3-1
解得m=3-2√3
此时(x^2+y^2+2x)min=3-2√3

因左焦点到椭圆右顶点的距离为最短
所以与椭圆外切的圆的半径为a+c=√3+1
即√(m+1)=√3+1
解得m=3+2√3
此时(x^2+y^2+2x)mmax=3+2√3

Answer 3

可取椭圆的参数方程 x=（√3）cost y=（√2）sint
x^2+y^2+2x=3cos²t+2sin²t+2√3cost

=cos²t+2√3cost+2
=（cost+√3）²-1
可知其最大值为 (1+√3)²-1=3+2√3 对应cost=1 x=√3 y=0
可知其最大值为 (-1+√3)²-1=3-2√3 对应cost=-1 x=-√3 y=0