Question

设a,b,c是三角形ABC的三边,且满足a^2=b(b+c0,求证:角A=2角B

Answer 1

已知a的平方等于b(b+c)，即a²=b²+bc
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA
两式相减 bc-c²+2bccosA=0
b-c+2bcosA=0
由正弦定理，化为角的形式
sinB-sinC+2sinBcosA=0
sinB-sin(A+B)+2sinBcosA=0
sinB-(sinAcosB+sinBcosA)+2sinBcosA=0
sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B)
所以B=A-B
故∠A=2∠B 不懂，欢迎追问

Answer 2

简单
由正弦定理得 (sinA)^2=sinB(sinB+sinC)=(sinB)^2+sinBsinC
∴ (sinA)^2-(sinB)^2=sinBsinC
∴sin(A+B)sin(A-B)=sinBsinC 注意 这是三角函数的平方差公式 自己证明
又∵三角形ABC中 sin(A+B)=sinC＞0
∴sin(A-B)=sinB ∴A-B=B 即A=2B