Question

对实数a和b,定义运算@:a@b=a (a-b≤1) 或 b (a-b>1），设函数

设函数(x)=(x²-2)@(x-1),x属于R，若函数y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是？

Answer 1

由(x²-2)-(x-1)≤1得-1≤x≤2
由(x²-2)-(x-1)>1得x>2或x<-1
f(x)=x²-2(当-1≤x≤2）或x-1（当x>2或x<-1）
y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点
即y=x²-2-c=0在-1≤x≤2上和y=x-1-c=0在x>2或x<-1共有两解。
y=x²-2-c=0在-1≤x≤2上的图像是抛物线的一部分，
当-1<=x<=0时，函数单调递减，函数值的范围是[-2-c,-1-c]
当0<=x<=2时，函数单调递增，函数值的范围是[-1-c，2-c]
由图可知y=x²-2-c=0在-1≤x≤2上有两解，则2+c>0且,-1-c>0,
所以-2<c<-1 （1）
y=x-1-c=0是单调递增的，在x>2或x<-1上函数值的范围是（-∞，-2-c)和（1-c,+∞）
而2-c>1-c,
所以当y的值在（1-c,2-c]时，x有两个值
因此1-c<0<=2-c,函数y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点
此时，1<c<=2 (2)
综上所述，-2<c<-1 或1<c<=2 函数y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点。

追问

y=x²-2-c的对称轴是1啊，y=x²-2-c=0在-1≤x≤2上的图像是抛物线的一部分，
当-1<=x<=0时，函数单调递减，函数值的范围是[-2-c,-1-c]
当0<=x<=2时，函数单调递增，函数值的范围是[-1-c，2-c
你这是什么意思啊
还有，y=x-1-c是一次函数，与Y轴没有交点啊，应该舍去这种情况啊

追答

你是说“与x轴恰有两个公共点”
另外，
y=x²-2-c的对称轴是x=0y=x-1-c是一次函数，如果没有自变量的限制与Y轴是有交点的。

追问

懂了，当0<=x<=2时，函数单调递增，函数值的范围是[-1-c，2-c]我算的是[-1-c，1-c],后面你好像把2-c也写成了2+c，是我算错了，还是你算错了

追答

函数值的范围是[-1-c，2-c]
2+c>0是由-2-c<0得来的

追问

我擦，还是不懂啊，你能附一张图我吗？若能搞定，10分

追答

这是c=0是函数的图像，随着c的不同，图像可上下移动，而与x轴恰有两个公共点的位置有两处，一处在y轴左边的抛物线的一段和右边抛物线的一段可同时和x轴有交点，此时，-2<c<-1；一处在y轴右边上方，抛物线的一段和直线的一部分可同时和X轴有交点，此时1<c<=2