Question

向量组B可以由向量组A线性表示，所以R（B）≦R（A）,可B可以变成A，即B=AX，也就是B~A,

向量组B可以由向量组A线性表示，所以R（B）≦R（A）,可B可以变成A，即B=AX，也就是B~A,那么R（B）=R（A）啊！请问我这么想哪里不对了？

Answer 1

向量组等价与矩阵等价不是等同的，而向量组B可以由A线性表示，只能说明B（b1,b2,...bm）可以由A（a1,a2,....al）表示，也就是B中任意一个向量都可由A线性表示，即bi=Ax,x是有解的，x是一组数，而B＝AX，这里的X为一向量组，也就是矩阵，但X不一定是可逆的，且因为同济第6版P76定理6：得R（A）＝R（A，B，），而R（B）<=R(A,B),所以R（B）<=R(A),因为B～A的充要条件是存在一个可逆矩阵P，Q。使PAQ＝B。所以R（A）不一定等于R（B）。