Question

别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F。

连接DF,连接EC,BD交于点G，求证所有与∠EGD相等的角。
不用写过程。

Answer 1

证明：连接CF
因为三角形ABC是直角 角ACB=90度 角BAC=30度
所以BC=1/2AB
因为角ABC+角BAC+角ACB=180度
所以角ABC=60度
因为三角形ABE是等边三角形
EF垂直AB
所以EF是等边三角形ABE的垂线，中线,角平分线
所以角ABE=角BAE=角AEB=60度
角EFB=90度
AF=BF=1/2AB
角AEF=角BEF=1/2角AEB=30度
所以BF=BC
F是AB的中点
所以CF是直角三角形ACB的中线
所以AF=CF
因为三角形ACD是等边三角形
所以AC=AD=CD
角ADC==角CAD=60度
因为DF=DF
所以三角形ADF和三角形CDF全等（SSS)
所以角ADF=角CDF=1/2角ADC=30度
因为角DAF=角BAC+角CAD=30+60=90度
角ADF+角DAF+角AFD=180度
所以角AFD=60度
所以角AFD=角ABC=60度
所以DF平行BC
所以角BDF=角CBD
角ABC+角BFD=180度
所以角BFD=120度
因为角DAF=角BAC+角CAD=30+60=90度
所以角EFB=角DAF=90度
因为角BEF=角ADE=30度（已证）
BF=AF（已证）
所以三角形BFE和三角形FAD全等（AAS)
所以BE=DF
因为就CBE=角ABE+角ABC=60+60=120度
所以角CBE=角BFD=120度
因为BC=BF（已证）
所以三角形CBE和三角形BFD全等（SAS)
所以角CEB=角BDF
所以角CEB=角CBD
因为角EGD=角CEB+角EBG
角EBG=角ABE+角ABD=60+角ABD
角ABC=角ABD+角CBD=60度
所以角EGD=120度
所以角EGD=角CBE=角BFD=120度