Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2-2x, (1)设h(x)=f(x+1)-g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数)，求h(x)的最大值

Answer 1

g(x)=(1/2)x²-2x
g ' (x)=x-2
f(x+1)=ln(x+1)
h(x)=ln(x+1)-x+2 定义域为：(-1,+∞)
h '(x)=1/(x+1)-1= - x/(x+1)
令h ' (x)>0; 得x(x+1)<0 ==>-1<x<0; 即函数h(x)的单调减区间为（-1，0）；
令 h '(x)>0得x(x+1)>0 ==>x>0; 即函数h(x)的单调增区间为（0，+∞）；
所以，x=0是函数h(x)的唯一极大值点，所以该点就是h(x)的最大值点，
所以h(max)=h(0)=2

Answer 2

h(x)=f(x+1)-g'(x)
=ln(x+1)-x+2
其中x>-1
h'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)
令
h'(x)=0
得x=0
当-1<x<0时 h'(x)>0 ,h(x)是增函数
当x>0时 h'(x)<0 ,h(x)是减函数
所以x=0时h(x)取最大值，h(x)的最大值=2

Answer 3

g'(x)=x-2 f(x+1)=ln(x+1)

h(x)=ln(x+1)-x+2

h'(x)=1/(x+1)-1=0
1=x+1
x=0
so,
h(max) =h(0)=2