Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于P，Q两点，且OP⊥OQ，

|PQ|=根号10 /2，求椭圆的方程。
写出过程，谢谢

Answer 1

易知直线斜率k=1。令P(x1,y1)，Q(x2,y2)

若焦点在x轴上，令椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）
联立直线方程与椭圆方程有(a^2+b^2)x^2+2a^2x+a^2-a^2b^2=0
因由韦达定理有
x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2)
x1x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
则由弦长公式有
|PQ|=|x1-x2|*√(1+k^2)
=√[(x1+x2)^2-4x1x2]*√(1+k^2)
=[2√2ab*√(a^2+b^2-1)]/(a^2+b^2)=√10/2（I）
又P、Q在直线上，则有
y1=x1+1
y2=x2+1
两式相乘得
y1y2=x1x2+(x1+x2)+1
=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)-2a^2/(a^2+b^2)+1
=(b^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
又OP⊥OQ，则有
kop*koq=-1
即x1x2+y1y2=0（向量OP*向量OQ=0）
即(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)+(b^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)=0
即a^2+b^2=2a^2b^2（II）
由（I）（II）可解得a^2=2，b^2=2/3
所以满足条件的椭圆方程为x^2/2+y^2/(2/3)=1

若焦点在y轴上，令椭圆为x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0）
同理可得a^2=2，b^2=2/3
即满足条件的椭圆方程为x^2/(2/3)+y^2/2=1

Answer 2

设椭圆方程：aX^2+by^2=1 (a、b>0)
两交点为p(x1,x1+1),Q(x2,x2+1)
联立直线方程消去y：(a+b)X^2+2bx+b-1=0。
利用交点弦公式:|PQ|=根(1+k^2)*根((x1+x2)^2-4x1x2)=根10/2；
利用韦达定理
=>(a+b-ab)/(a+b)^2=5/16
再由垂直=>(x1,x1+1)·(x2,x2+1)=0=>利用韦达定理的a+b=2
带入(a+b-ab)/(a+b)^2=5/16=>ab=3/4
=>a=3/2;b=1/2或a=1/2,b=3/2;
=>椭圆方程为：
3(x^2)/2+(y^2)/2=1
或(x^2)/2+3(y^2)/2=1