Question

若方程 2sinx+cosx=m-1 有解,则m的取值范围是 _？

Answer 1

考虑将方程进行变形，得到：
2sinx + cosx = m - 1
可将左边的项写成一个三角函数的形式，例如：
2sinx + cosx = √5sin(x + α)
其中，α 为某个角度，满足 cosα = 2/√5，sinα = 1/√5。
于是方程可以变形为：
√5sin(x + α) = m - 1
为了使方程有解，必须满足 √5sin(x + α) 的值在 [-1, 1] 的范围内，即：
-1 ≤ √5sin(x + α) ≤ 1
-1/√5 ≤ sin(x + α) ≤ 1/√5
考虑到 sin(x + α) 的取值范围为 [-1, 1]，因此有：
-1 ≤ sin(x + α) ≤ 1/√5
-1 - sinα ≤ sinx ≤ 1/√5 - sinα
-1 - 2/√5 ≤ sinx ≤ 1/√5 - 2/√5
-1 - 2/√5 ≤ sinx ≤ (1 - 2/√5) / √5
注意到 -1 ≤ sinx ≤ 1，因此有：
-1 ≤ (1 - 2/√5) / √5 ≤ 1
-√5 + 2 ≤ m ≤ √5 + 2
因此，m 的取值范围是 [-√5 + 2, √5 + 2]。

Answer 2

2sinx+cosx=根号5 * sin(x+?) 所以 -根号5=<m-1<=根号5 --》 1-根号5=<m<=1+根号5