Question

已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将之片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别交A

已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将之片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别交AB、CD于点G、F，AE与FG交于点O。1、求证：AGEF四点围成的四边形为菱形。2、点N是线段BC的中点，且ON=OD，求折痕FG的长。

Answer 1

解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四边形AGEF是菱形．

（2）连接ON，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，
∴ON⊥BC，
∵点O是AE的中点，
∴ON是梯形ABCE的中位线，
∴点N是线段BC的中点．

（3）作OM⊥AD，
设DE=x，则MO=12x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
故AE为△AED的外接圆的直径．
延长MO交BC于点N，则ON∥CD，
∵四边形MNCD是矩形，
∴MN=CD=4，
∴ON=MN-MO=4-12x，
∵△AED的外接圆与BC相切，
∴ON是△AED的外接圆的半径，
∴OE=ON=4-12x，AE=8-x，
在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，
∴22+x2=（8-x）2，
得x=DE=154，OE=4-12x=178，
∵△FEO∽△AED，
∴OEDE=OFAD，
解得：FO=1715，
∴FG=2FO=3415．
故折痕FG的长是3415

Answer 2

然后呢？
说清楚点。。。。。。。。

Answer 3

没有说完啊