Question

数列an的前n项和为sn，a1=1，sn+1=4an+2(n属于n+) 设cn=an

数列an的前n项和为sn，a1=1，sn+1=4an+2(n属于n+) 设cn=an/3n-1，求证cn为等比数列

Answer 1

证：

S2=a1+a2=4a1+2

a2=4a1+2-a1=3a1+2=3×1+2=5

n≥2时，

S(n+1)=4an +2

Sn=4a(n-1)+2

S(n+1)-Sn=4an+2-[4a(n-1)+2]

a(n+1)=4an-4a(n-1)

a(n+1)-2an=2an-4a(n-1)=2[an-a(n-1)]

[a(n+1)-2an]/[an-2a(n-1)]=2，为定值。

a2-2a1=5-2×1=3

数列{a(n+1)-2an}是以3为首项，2为公比的等比数列

a(n+1)-2an=3×2ⁿ⁻¹

等式两边同除以2ⁿ⁺¹

a(n+1)/2ⁿ⁺¹ -an/2ⁿ =¾

a1/2=½

数列{an/2ⁿ}是以½为首项，¾为公差的等差数列

an/2ⁿ=½+¾(n-1)=(3n-1)/4

an=[(3n-1)/4]×2ⁿ=(3n-1)×2ⁿ⁻²

n=1时，a1=(3×1-1)×2¹⁻²=2×½=1，同样满足表达式

数列{an}的通项公式为an=(3n-1)×2ⁿ⁻²

cn=an/(3n-1)=(3n-1)×2ⁿ⁻²/(3n-1)=2ⁿ⁻²

c1=2¹⁻²=½

c(n+1)/cn=2ⁿ⁺¹⁻²/2ⁿ⁻²=2，为定值

数列{cn}是以½为首项，2为公比的等比数列。