Question

请问下这个积分怎么求出来的呀，要过程，谢谢。

e的积分怎么求出来的

Answer 1

这个积分可以通过变量代换法求出来。
首先，将被积函数中的 e^x 用 u 表示：u = e^x，因此有 x = ln u，所以原式可变为：
∫ (ln u / u) du
然后，对被积函数进行分部积分，设：
u = ln u, dv = (1/u) du
那么：
du = (1/u) du, v = ln u
根据分部积分公式，可以得到：
∫ (ln u / u) du = (ln u)(ln u) - ∫ (1/u)(ln u) du
= (ln u)^2 - ∫ ln u d(ln u)
= (ln u)^2 - 1/2 * (ln u)^2 + C
其中，C 为常数。将 u=e^x 代入上式，最终结果为：
∫ (x^2 / e^x) dx = (ln(e^x))^2 - 1/2 * (ln(e^x))^2 + C
= x^2 - x + C
其中，C 是积分常数。
所以，积分的结果为 x^2 - x + C。

Answer 2

这个积分可以通过变量代换法求出来。
首先，将被积函数中的$e^x$用$u$表示：$u=e^x$，则有$x=\ln u$，因此原式可变为：
$$\int \frac{\ln u}{u}du$$
然后，对被积函数进行分部积分，设：
$$u=\ln u, \qquad dv = \frac{1}{u}du$$
则：
$$du = \frac{1}{u}du, \qquad v = \ln u$$
根据分部积分公式，可得：
$$\begin{aligned} \int \frac{\ln u}{u}du &= \ln u \ln u - \int \frac{1}{u}\ln u du \\ &= \ln^2 u - \int \ln u d(\ln u) \\ &= \ln^2 u - \frac{1}{2}(\ln u)^2 + C \end{aligned}$$
其中，$C$为常数。将$u=e^x$代入上式，可得最终结果为：
$$\int \frac{x^2}{e^x}dx = \ln^2(e^x) - \frac{1}{2}(\ln(e^x))^2 + C = x^2 - x + C$$
其中，$C$为积分常数。
因此，积分的结果为$x^2 - x + C$。

Answer 3

e是数学中一个非常重要的常数，它的近似值约为2.71828。它的积分也在数学中经常出现。
e的积分表达式为 ∫e^x dx。在求解这个积分时，我们可以使用不同的方法，比如分部积分法或者换元积分法。
其中，使用分部积分法时，可以令u = e^x，dv = dx，则du/dx = e^x，v = x，则：
∫e^x dx = xe^x - ∫xe^x dx
对于 ∫x*e^x dx 这一项，可以再次使用分部积分法，令u = x，dv = e^x dx，则：
∫xe^x dx = xe^x - ∫e^x dx
将这个结果代入前面的式子中，得到：
∫e^x dx = xe^x - ∫xe^x dx
= xe^x - (xe^x - ∫e^x dx)
= xe^x - xe^x + e^x + C
= e^x + C
因此，e的积分就是 e^x + C，其中C为常数

Answer 4

对于似然函数 (1)，当 $x>0$ 时，有：

$$L(x)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^n e^{-\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

其中 $\mu=-2x+3$，$\sigma=D(X)$。根据题意，有 $E(X)=4D(X)$，即 $D(X)=\frac{E(X)}{4}=0.84$。

将 $\mu$ 和 $\sigma$ 带入似然函数中，得：

$$L(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\times 0.84}}\right)^n e^{-\sum_{i=1}^n \frac{(x_i+2x-3)^2}{2\times 0.84}}$$

取对数得：

$$\ln L(x)=-n \ln(\sqrt{2\pi\times 0.84})-\sum_{i=1}^n \frac{(x_i+2x-3)^2}{2\times 0.84}$$

为了求出使似然函数最大的 $x$ 值，需要对其求导并令导数为零：

$$\frac{\mathrm d (\ln L(x))}{\mathrm d x}=\sum_{i=1}^n \frac{(3- x_i - 2 x)}{0.84}=0$$

化简得：

$$\sum_{i=1}^n x_i + 2nx = 3n$$

解得：

$$x=\frac{3-\bar{x}}{2}$$

其中 $\bar{x}$ 是样本均值。因为 $E(X)=\frac{3}{2}$，所以 $x>0$，即 $\frac{3-\bar{x}}{2}>0$，解得 $\bar{x}<3$。

综上所述，当 $x>0$ 时，使似然函数最大的 $x$ 值为 $\frac{3-\bar{x}}{2}$，其中 $\bar{x}<3$。

Answer 5

积分可以通过变量代换法求出来。，这个积分可以通过变量代换法求出来。