Question

已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：a(n+1)=(an+bn)/√(an²+bn²),n∈N+

① 设b(n+1)=1+bn/an，N∈N+，求证数列(bn/an)²是等差数列。
②设b(n+1)=(√2)bn/an,且{an}是等比数列,求a1和b1的值。

大神给步骤的事情请给超级详细的，谢谢。。我对数列不太在行。

Answer 1

(1)
证明
a(n+1)=(an+bn)/√((an)^2+(bn)^2))
b(n+1)=1+bn/an
所以
b(n+1)/a(n+1)=√((an)^2+(bn)^2))/an=√(1+(bn/an)^2)
设Tn={bn/an}^2
T(n+1)=(1+(Tn)
T(n+1)-Tn=1
所以(bn/an)² 是以公差为1的等差数列。
(2)好难啊，请下面的回答

追问

b(n+1)/a(n+1)=√((an)^2+(bn)^2))/an=√(1+(bn/an)^2)

大神哥。这部怎么变的，我看不懂。。求教。。

追答

第一步：(1+bn/an)/[(an+bn)/√((an)^2+(bn)^2))]=√((an)^2+(bn)^2)) * [(an+bn)/an]/[an+bn]
=√((an)^2+(bn)^2))/an

第二步：分子分母同除于an.把an换到根号里面，要加上平方。