Question

还有线性代数里的问题想要请教

是不是只要特征值相同的两个矩阵一定相似？还有怎么判断两个普通矩阵合同？谢谢了！看了你的回答感觉你是个高手！

Answer 1

特征值相等是矩阵相似的必要条件。特征值相等不一定相似，除非这些特征值都不相同。比如两个矩阵特征值都是1.2.3那么肯定相似，如果都是1.1.2就不一定。
合同的充要条件是正负惯性指数相同，你可以求一下它们的特征值，或者用配方化成标准型，看一下正负惯性指数就可以。另外还有一个充分不必要条件，就是特征值相同必合同，也就是相似必合同。你可能奇怪为什么这里我说特征值相同也就是相似。因为合同是对实对称矩阵而言的，实对称矩阵必可以相似对角化。前面举得栗子里面，特征值都是1.1.2时，之所以说不一定相似，就是这个有重根特征值的矩阵，不一定可以化成对角阵，而两矩阵相似，是有传递性的，如果它们相似它们必定也相似于同一个对角阵，所以如果有一个不能对角化，那就不能相似了