Question

已知函数f(x)=alnx-x^2，若对区间(0，1)任取两个不等实数x1x2,不等式

[f(x1+1)-f(x2+1)/x1-x2]>1恒成立，则a范围是

Answer 1

解：
[f(x1+1)-f(x2+1)/][(x1+1)-(x2+1)]=f '(x+1)＞1
因为f (x+1)=aln(x+1)-(x+1)²
所以f '(x+1)=a/(x+1)-2(x+1)
又f '(x+1)＞1恒成立
所以a/(x+1)-2(x+1)>1
a>2(x+1)^2+(x+1)
设t=x+1,1<t<2
g(t)=2t^2+t=2(t+1/4)^2-1/8
在(1,2)上是单调增函数,故有g(t)max=g(2)=8+2=10
所以,范围是a>=10.

Answer 2

假设x1<x2
因为f‘（x0）=f(x1+1)-f(x2+1)/（x1-x2）
x0在（x1+1，x2+1）内满足f‘（x）>1 由于x属于（0,1）所以x+1属于（1,2）即x0属于（1,2）
所以不等式[f(x1+1)-f(x2+1)/x1-x2]>1恒成立等价于f’（x）>1在x属于（1,2）