Question

在已知特征值λ 求对应的特征向量的时候,是不是特征向量不是唯一的?有什么赋值的规律吗?

我发现对于不确定的量好像一般都取1,再取0!还有一个不懂的地方,就是是不是特征值如果是n重根,它对应的特征向量就一定有n个?

Answer 1

--在已知特征值λ 求对应的特征向量的时候,是不是特征向量不是唯一的?
不是唯一的.
性质: 属于某一特征值的特征向量的非零线性组合仍是其特征向量

--有什么赋值的规律吗?
特征向量来自齐次线性方程组(A-λE)x=0的解
求出这个齐次线性方程组的基础解系, 就得到了所有属于特征值λ的特征向量
齐次线性方程组的基础解系你应该知道有什么规律了

追问

能说下齐次线性方程组的基础解系有什么规律吗?我也不太明白

追答

将系数矩阵化为行最简形
非零行的首非零元所在列对应的未知量是约束未知量
其余未知量是约束未知量

约束未知量任取一组数可唯一确定自由未知量的值, 合在一起就构成一个解
一般情况下约束未知量取(1,0,...,0), (0,1,...,0),(0,0,...,1), 即得基础解系

追问

是不是特征值如果是n重根,它对应的特征向量就一定有n个呢?

追答

不一定
实对称矩阵时k重特征值有k个线性无关的特征向量.

追问

它要不是实对称矩阵的时候,它的特征向量的个数是等于n-r(λE-A)吗

追答

嗯. 应该说 属于它的线性无关的特征向量的个数等于n-r(λE-A)