Question

已知函数f(x)=mx+n/1+x²是定义在[-1/2,1/2]上的奇函数,且f(-1/4)=8/17

.（3）若实数t满足f(3t)+f（t+1)＜0.求t的取值范围

Answer 1

奇函数
f(0)=0
所以n/1=0，n=0
f(-1/4)=8/17
所以m=-2
f(x)=-2x/(1+x²)

所以-6t/(1+9t²)-2(t+1)/(1+t²+2t+1)<0
3t/(1+9t²)+(t+1)/(t²+2t+2)>0
分母都是正数，所以去分母得
3t³+6t²+6t+9t³+9t²+t+1>0
12t³+15t²+7t+1>0
(4t+1)(3t²+3t+1)>0

3t²+3t+1>0恒成立
所以4t+1>0
t>-1/4

由定义域
-1/2≤3t≤1/2，-1/2≤t+1≤1/2
-1/6≤t≤1/6，-3/2≤t≤-1/2
这两个没有公共部分
无解

追问

天！一位大神跟我说答案如下：因为奇函数,所以有f(3t)-t-1
所以列方程组：
3t>-t-1
-t-1≥-1
3t≤1
所以-1/4＜t≤0
</f(-t-1)
您跟我说无解。。。身为资深数学学渣的我心好方。。。
请问能给我一个准确答案吗？

追答

不信就算了吧

追问

额。。。我今天去学校问一下老师吧，谢谢您。

追答

凭什么说是减函数，还有别的条件吧。或者你打错了

追问

因为。。。原题是这样的：已知函数f(x)=mx+n/1+x²是定义在[-1/2,1/2]上的奇函数,且f(-1/4)=8/17
(1)确定函数解析式.
(2)用定义证明函数f(x)在[-1/2,1/2]上是减函数.
(3)若实数t满足f(3t)+f（t+1)＜0.求t的取值范围

追答

题目错了，那人说的显然定义域是负一到一

Answer 2

[-1/2,1/2]上的奇函数
f(-1/4)=-f(1/4)

f(-1/4)=-1/4 m + n/(1+1/16)=-1/4 m +16n/17=8/17
f(1/4)=1/4 m +n/(1 + 1/16)=1/4 m +16n/17=-8/17
解得m=-32/17,n=0
f(x)=-32/17 x

Answer 3

（1）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即m(?x)+n1+(?x)2＝?mx+n1+x2，∴n=0，∵f(12)＝25，∴m=1（2）由（1）得f(x)＝x1+x2，设-1＜x1＜x2＜1，则f(x1)?f(x2)＝x11+x21?x21+x22＝x1(1+x22)?x2(1+x21)(1+x21)(1+x22)=(x1?x2)(1?x1x2)(1+x21)(1+x22)∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x21＞0，1+x22＞0∴f（x1）-f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（-1，1）上为增函数．（3）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴由f（t-1）+f（t）＜0，得：f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）又∵f（x）在（-1，1）上为增函数∴?1＜t＜1?1＜1?t＜1t＜1?t，解得 0＜t＜12．

追问

您好像把定义域搞错了吧。。。