Question

已知an=n×2ⁿ，求Sn

Answer 1

an=n*2^n
sn=1*2+2*2^2+3*2^3+......+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n (1)
(1)式两边乘以2: [说明:为什么乘以2呢?这个2就是上面2^n中的2,而不能乘以别的数]
2sn= 1*2^2+2*2^3+3*2^4+............. +(n-1)*2^n+n*2^(n+1) (2)
[注意这一行的写法,等号右边一开始空了一项的位置,这样可以让2的次数相同的项与(1)式中的项对齐,为下面(1)式-(2)式作准备]
(1)式-(2)式: [(1)式中的第一项直接抄下来,(2)中的最后一项理解为0-n*2^(n+1)]
-sn=[2+2^2+2^3+......+2^n] - n*2^(n+1)
[上式中括号中就是一个等比数列,一共有n项]
=2(2^(n)-1)/(2-1)-n*2^(n+1)
=2^(n+1) - 2- n*2^(n+1)
=2^(n+1)*(1-n)-2
sn=2+2^(n+1)*(n-1)

Answer 2

Sn=a1+a2+a3+...+an=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
2Sn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹
Sn-2Sn=-Sn=2+2²+...+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
Sn=n×2ⁿ⁺¹-(2+2²+...+2ⁿ)
=n×2ⁿ⁺¹- 2×(2ⁿ-1)/(2-1)
=(n-1)×2ⁿ⁺¹+2