Question

已知a、b、c、d、e、f≥0，求证：6(a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3)^2≥(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)^3

尽量初等一些吧，我的数学水平比较水。

Answer 1

根据柯西不等式：(a³+b³+c³+d³+e³+f³)(a+b+c+d+e+f)≥(a²+b²+c²+d²+e²+f²)²
两边同时平方：(a³+b³+c³+d³+e³+f³)²(a+b+c+d+e+f)²≥(a²+b²+c²+d²+e²+f²)⁴……①
根据均值举灶银不等式：
√[(a²+b²+c²+d²+e²辩扮+f²)/6]≥(a+b+c+d+e+f)/6，即a²+b²+c²+d²+e²+f²≥(a+b+c+d+e+f)²/6…②
①、②联立，有正宴：
(a³+b³+c³+d³+e³+f³)²(a²+b²+c²+d²+e²+f²)≥(a³+b³+c³+d³+e³+f³)²(a+b+c+d+e+f)²/6
≥(a²+b²+c²+d²+e²+f²)⁴/6
即6(a³+b³+c³+d³+e³+f³)²≥(a²+b²+c²+d²+e²+f²)³

追问

我上网查柯西不等式查不到这种形式的，你能不能解释得具体一些？

追答

柯西不等式的一般形式（在百度百科里输入“柯西不等式”可以查到）：

柯西不等式的意思是“两组数据平方和的乘积”大于等于“两组数据乘积的和的平方”

本题用的是n=5的情形，即：

(a1²+a2²+a3²+a4²+a5²)(b1²+b2²+b3²+b4²+b5²)≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+a4·b4+a5·b5)²

将a1、a2、a3、a4、a5分别以√a³、√b³、√c³、√d³、√e³、√f³替代，将b1、b2、b3、b4、b5分别以√a、√b、√c、√d、√e、√f替代，得到的不等式即是

(a³+b³+c³+d³+e³+f³)(a+b+c+d+e+f)≥(a²+b²+c²+d²+e²+f²)²