Question

大学数学题，讨论反常积分的敛散性问题，题目如下

Answer 1

　　该积分既是无穷积分又是瑕积分，x = 0 是其瑕点。记被积函数为 f(x)，将积分分解为(0,1] 及 [1,+inf)两段。
　　对(0,1] 段的瑕积分，因
x^(1/2)* f(x)→1 (x→0)，p>=1/2时，
x^(1/2)* f(x)→0 (x→0)，p<1/2时，
据Cauchy判别法，f 在 (0,1] 段的瑕积分对所有的 p 均收敛。

　　对[1,+inf) 段的无穷积分，因
x^p* f(x)→1 (x→0)， p>1/2时，
x^p* f(x)→0 (x→0)， 0<=p<1/2时，
x^p* f(x)→1/2 (x→0)，p=1/2时，
据Cauchy判别法，f 在 [1,+inf) 段的无穷积分当 p >1 时收敛。
　　综上所述，原积分当 p >1 时收敛。