Question

如果一个数恰好有2023个约数，那么这个数是多少？

Answer 1

一个数的约数的个数等于这个数的所有质因子的次数加一的乘积。例如，24=2³×3，24的约数的个数等于（3+1）×（1+1）=8。
所以，要找到满足条件的数，我们需要先找到2023这个数的所有质因子。
2023=7×17×17，所以2023有三个质因子：7、17和17。
那么，如果某数是2023的倍数，且恰好有2023个约数，那么这个数必须能写成如下形式：
x = 7^(a) × 17^(b) × p^(c) × q^(d) × …
其中p、q等是其他不同于7和17的质因子，a、b、c、d等是非负整数。而且这个数的约数的个数必须满足：
(a+1) × (b+1) × (c+1) × (d+1) × … = 2023
由于2023=7×17×17，所以我们可以分别让a、b、c、d等取以下值：
a = 6, b = 16, c = d = … = 0 a = 0, b = 0, c = 6, d = 16 a = 0, b = 16, c = d = … = 0 a = 16, b = 0, c = d = …=0
其他情况都会导致约束不成立或者重复计算。所以满足条件的x只有四种可能：
x_1=76×1716 x_2=70×170×p6×q16 x_3=70×1716 x_4=7^16
其中p和q是任意两个不同于7和17且互素（最大公约数为1）的质因子。由于p和q可以任意选择，所以实际上满足条件的x有无穷多个。但是如果我们只考虑最小公倍数（即每一个质因子都出现在分解中），那么只有四种情况。