Question

求一道高数题解答

若f（x）可导试证在其两个零点间一定有f（x）+f '（X）的零点

Answer 1

设任两个零点分别为a和b，其中a<b，(在这两个零点中间可以还有零点)
由中值定理存在c，其中a<c<b，使得f '(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)=0。
（1）若f(c)也等于0，则其为f(x)+f '(x)的零点。
（2）若f(c)>0，有f(c)+f '(c)>0，设d为大于c的f(x)的第一个零点，由于(c,d)区间内f(x)是单调递减的
所以f ‘(d)≤0，若f '(d)等于0，则其为f(x)+f '(x)的零点；若f '(d)小于0，则f(d)+f '(d)<0，由于f(x)+f '(x)是连续函数，在c处大于0，d处小于0，其之间必有一点为0点。
（3）若f(c)<0，有f(c)+f '(c)<0，设e为大于c的f(x)的第一个零点，由于(c,e)区间内f(x)是单调递增的
所以f ‘(d)≥0，若f '(d)等于0，则其为f(x)+f '(x)的零点；若f '(d)大于0，则f(d)+f '(d)>0，由于f(x)+f '(x)是连续函数，在c处小于0，e处大于0，其之间必有一点为0点。

综上可得在可导函数f(x)两个零点间一定有f(x)+f '(x)的零点。▅