Question

计算二重积分I=∫∫(x^2+y^2+3y)dxdy,其中D=((x,y)|x^2+Y^2<a^2,x>0)

Answer 1

假设a>0，
利用极坐标公式
令x=rcost
y=rsint
则D={(r,t)| 0≤r≤a, -π/2≤t≤π/2}
dxdy=rdrdt
于是原式=∫∫D (r²+3rsint)rdrdt
=∫【-π/2,π/2】dt ∫【0,a】(r³+3r²sint)dr
=∫【-π/2,π/2】(0.25a^4+a³ sint) dt
=0.25πa^4
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

追问

有一些说3y可以去掉，，他们说根据函数的对称性

追答

恩，积分区域关于x轴对称，被积函数y关于y是奇函数，所以可以知道
∫∫D 3ydxdy=0
从后面的极坐标代换也可以看出来！

Answer 2

解：用代换法
令x=rcosα，y=rsinα，其中r∈[0,a)，α∈[0,2π)，且|J|=r。
原积分I=∫[0,2π]∫[0,a](r^2+3rsinα)rdrdα
=∫[0,2π](a^4/4-a^3*sinα)dα
=πa^4/2