计算二重积分I=∫∫(x^2+y^2+3y)dxdy,其中D=((x,y)|x^2+Y^2<a^2,x>0)
2个回答
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假设a>0,
利用极坐标公式
令x=rcost
y=rsint
则D={(r,t)| 0≤r≤a, -π/2≤t≤π/2}
dxdy=rdrdt
于是原式=∫∫D (r²+3rsint)rdrdt
=∫【-π/2,π/2】dt ∫【0,a】(r³+3r²sint)dr
=∫【-π/2,π/2】(0.25a^4+a³ sint) dt
=0.25πa^4
不明白可以追问,如果有帮助,请选为满意回答!
利用极坐标公式
令x=rcost
y=rsint
则D={(r,t)| 0≤r≤a, -π/2≤t≤π/2}
dxdy=rdrdt
于是原式=∫∫D (r²+3rsint)rdrdt
=∫【-π/2,π/2】dt ∫【0,a】(r³+3r²sint)dr
=∫【-π/2,π/2】(0.25a^4+a³ sint) dt
=0.25πa^4
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追问
有一些说3y可以去掉,,他们说根据函数的对称性
追答
恩,积分区域关于x轴对称,被积函数y关于y是奇函数,所以可以知道
∫∫D 3ydxdy=0
从后面的极坐标代换也可以看出来!
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