Question

线性代数: 11题怎么做，需要详细的解题过程，求帮忙，急

Answer 1

实对称阵的不同特征值下的特征向量正交，
则可以构造出特征值3对应的特征向量，可以是下面两个线性无关的特征向量：
(-1,0,1)T
(2,-4,2)T

经检验这3个特征向量都正交（内积都为0）。
下面将这3个特征向量，单位化，得到
(1,1,1)T/√3
(-1,0,1)T/√2
(1,-2,1)T/√6

则得到正交矩阵P=
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
1/√3 1/√2 1/√6

P⁻¹=PT=
1/√3 1/√3 1/√3
-1/√2 0 1/√2
1/√6 -2/√6 1/√6

使得P⁻¹AP=diag(6,3,3)=Λ
则
A=PΛP⁻¹
=
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
1/√3 1/√2 1/√6
×
6 0 0
0 3 0
0 0 3
×
1/√3 1/√3 1/√3
-1/√2 0 1/√2
1/√6 -2/√6 1/√6

=

6/√3 -3/√2 3/√6
6/√3 0 -√6
6/√3 3/√2 3/√6
×
1/√3 1/√3 1/√3
-1/√2 0 1/√2
1/√6 -2/√6 1/√6
=
4 1 1
1 4 1
1 1 4